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rthrobot.tistory.com 배움길 속 뜻매김 Gauss-Newton방법과 Levenberg-Marquardt 방법 4 주를 이룹니다. 이미 저는 수치해석, 딥러닝 등의 과목에서 Gradiant descent, Newton-Rapshon, LP, QP 등을 배웠고, 이번에 추가로 공부하며 새롭게 알게된 Gauss-Newton 방법과 Levenberg-Marquardt 방법에 대한 글을 작성하고자 합니다. 1. Basic 다음과 같은 가장 간단한 비선형 최소 제곱 문제를 해결한다고 생각해... Slam optimization airoboticskrstudy 2024.02.19 블로그 검색 더보기 robot-log.me Robot-log 섭동 모델 및 Gauss Newton Method 을 통한 SE(3) 최적화 설명 및 C++ 구현 se(3) Lie Algebra 미분 모델 se(3) Lie Algebra를 미분하게 되면 복잡한 형태가 나오게 된다. 우리는 더 실용적이게 pose를 추정하고 싶으므로 섭동 모델을 통해 4x6 Jacobian을 계산할 수 있다. 섭동모델을 통한 se(3) 미분 식에 대한 설명은 아래 PPT 25~28 page를 참고할 수 있다. 자율주행을 위한 비주얼 슬램 스터디 4-3 ~ 4-6.pp 자율주행을 위한 비주얼 슬램 스터디 리 대수 미분 및 Sophus Presenter. 김대완 docs.google.com 이제 미분값을 알게 되었으니 Gauss Newton을 통한 cost function 최적화 cost function은 error vector의 2-norm 이므로 아래와 같이 다시 작성할 수 있다. \begin{equation} \min_{\mathbf{T}}J(\mathbf{T}) = \sum_{i = 1}^{N}{\mathbf{e}_{i}(\mathbf{x})^{T}\mathbf{e}_{i} (\mathbf{x})} \end{equation} Gauss Newton방식은 error가 줄어드는 방향으로 증분량 $ \Delta \mathbf{x} $를 업데이트한다. \begin{equation} \mathbf{e}(\ma C++ Implement C++의 Eigen과 Sophus 라이브러리를 사용하여 간단하게 GaussNewton 최적화 기법으로 pose 최적화를 구현해 보자. Landmark 실제값과 관측값 정의 landmark의 실제 위치와 관측 노이즈가 포함된 관측값을 N개 추가한다. std::vector<Eigen::Vector3d> landmarks; std::vector<Eigen::Vector3d> measures; landmarks.emplace_back(0.9, 1.0, 1.0); landmarks.emplace_back(1.0, 2.0, 1.2); lan Cost function 정의 월드 좌표계 기준 관측값과 측정값의 차이 vector의 2-norm을 이용하여 에러함수를 정의한다. (4)번 식을 코드로 구현한 것이다. double costFunction(const std::vector<Eigen::Vector3d> &measures, const std::vector<Eigen::Vector3d> &landmarks, const Sophus::SE3<double> &T) { double cost = 0.0; for (int i = 0; Gauss Newton 정의 Jacobian matrix는 섭동모델 결괏값을 이용한다. 그 후 $ \mathbf{H} $의 inverse을 구하기 위해 QR decomposition으로 least squares 문제를 해결한다. 결과로 1 x 6 vector를 반환한다. (Lie Algebra) Vector6d gaussNewton(const std::vector<Eigen::Vector3d> &measures, const std::vector<Eigen::Vector3d> &landmarks, 반복적으로 수행 반복적으로 수행하여 최적의 로봇 pose를 구한다. 이때, gaussNewton 반환이 Lie Algebra 이므로 Lie Group으로 mapping 시킨 뒤 행렬 곱셉으로 업데이트를 한다. (Exponential Mapping) for (int i = 0; i < 10; ++i) { std::cout << "#Iteration " << i << "." << std::endl; auto cost = costFunction(measures, landmarks, T); std::cout << "cost: " << 실행 결과 초기 로봇의 pose를 Identity Matrix로 정의한 뒤에 반복적으로 pose를 업데이트한다. 반복할수록 cost값이 최소화하는 방향으로 최적화되는 것을 확인 가능하다. 결론 가장 간단한 예시로 SE(3)를 최적화하여 최적의 pose를 구하는 법을 알아봤다. Lie Theory가 왜 사용되는지, 어떻게 최적화할 수 있는지 직관적이게 알 수 있어서 작성하면서도 도움이 되었다. 발표 자료 자율주행을 위한 비주얼 슬램 스터디 4-3 ~ 4-6.pp 자율주행을 위한 비주얼 슬램 스터디 리 대수 미분 및 Sophus Presenter. 김대완 docs.google.com 전체 코드 (github) GitHub - dawan0111/Simple-SE3-Optimization: Simple-SE3-Optimization Simple-SE3-Optimization. Contribute to dawan0111/Simple-SE3-Optimization development by creating an account on GitHub. github.com 3 cost function은 error vector의 2-norm 이므로 아래와 같이 다시 작성할 수 있다. \begin{equation} \min_{\mathbf{T}}J(\mathbf{T}) = \sum_{i = 1}^{N}{\mathbf{e}_{i}(\mathbf{x})^{T}\mathbf{e}_{i} (\mathbf{x})} \end{equation} Gauss Newton방식은 error가 줄어드는 방향으로 증분량 $ \Delta \mathbf{x} $를 업데이트한다. \begin{equation} \mathbf{e}(\ma C++ Slam robotics Lie Group Lie Algebra sophus eigen gauss newton 2024.05.22 xoft.tistory.com xoft [개념 정리] 가우스-뉴턴 (Gauss-Newton) 최적화 기법 개요 입력 데이터($x$)와 모델 매개변수($\beta$)에 관한 함수 $f(x,\beta)$에 대해 관측된 데이터($y$)간의 차이의 제곱을 최소화하는 문제(Nonlinear Least Squares Problem, 아래 수식)를 해결 할 때 사용하는 방법 중에 하나입니다. $$ S(\beta) = \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i, \beta))^2 $$찾고자하는 값은 모델 매개변수 변화량($\Delta \beta$)입니다. $$ S(\beta + \Delta \beta) = \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_ 언제 사용하는가? 비선형 최소 제곱 문제 솔루션은 Gauss-newton외에도 Gradient-Descent, Levenberg-Marquardt이 있습니다. 이 중 Gauss-newton은 모델 매개변수의 수가 적고, Jacobian을 쉽게 계산 할 수 있는 경우에 잘 작동합니다. 또한 미분을 2번 수행(=Jacobian을 2번 계산)하기 때문에, 최적값 근처에서 선형적인 성질을 보일 때(=비선형성이 강하지 않을 때) 효과적이고, 초기 추정값이 실제 최적값에 근접할 경우 효율적으로 작동합니다. Gauss-Newton 알고리즘 위 수식을 풀기 위해, 테일러 확장(Taylor Expansion)의 1차식으로 선형 근사를 합니다. $$f(x, \beta + \Delta \beta) \approx f(x, \beta) + J_f(x, \beta) \Delta \beta$$ J는 Jacobian이며 다변수 함수에 대한 편미분 값을 나타냅니다. 추가로 $ r_i = y_i - f(x_i, \beta)$ 로 보기 좋게 정리해줍니다. $$S(\beta + \Delta \beta) \approx \sum_{i=1}^n \left( y_i - (f(x_i, \beta) 비선형 최소 제곱 문제 솔루션은 Gauss-newton외에도 Gradient-Descent, Levenberg-Marquardt이 있습니다. 이 중 Gauss-newton은 모델 매개변수의 수가 적고, Jacobian을 쉽게 계산 할 수 있는 경우에 잘 작동합니다. 또한 미분을 2번 수행(=Jacobian을 2번 계산)하기 때문에, 최적값 근처에서 선형적인 성질을 보일 때(=비선형성이 강하지 않을 때) 효과적이고, 초기 추정값이 실제 최적값에 근접할 경우 효율적으로 작동합니다. 개념 알고리즘 최적화 문제 Gauss-Newton 비선형 최소 제곱 문제 가우스 뉴턴 nonlinear least squares 2024.05.15 weseb.com sjb m 더가우스 주식회사(The Gauss Inc.) (온라인 TV홈쇼핑 카탈로그 자동차,자동차용품 컴퓨터,사무용품) : 쇼핑&통신판매 정보 위세브 상호명 : 더가우스 주식회사(The Gauss Inc.) ( 인터넷 TV홈쇼핑 카탈로그 판매방식 ) 법인사업자 통신판매번호 : 2018-경기군포-0451 대표자명 : 비공개 통신판매신고일 : 2018.09.11 인터넷주소... 2024.02.06 웹문서 검색 더보기 vdcm.co.kr news Samsung 갤럭시 S24 울트라 통합예상 생성 AI "Gauss" 삼성전자가 최신 기술을 도입한 새로운 AI 모델, Samsung Gauss를 개발했다고 발표했다. 이 모델은 이미지 생성 능력을 갖추고 있으며, 회사의 다음 스마트폰에서 주목할 만한 온디바이스 기술의 핵심 역할을 할... 2023.11.09 전체보기 삼성 갤럭시 S24 Plus: AI 기능과 혁신적인 카메라 성능으로 예상되는 휴대폰 혁신 않고 '온디바이스' AI 기능을 강화하여 보안과 속도를 향상시킬 예정이다. 누출된 사양에는 Samsung Gauss 기반의 AI 프레임워크를 활용한 Generative Edit, Nightography Zoom, Live Translate와 같은 기능이... 삼성 Galaxy S24 Ultra vs iphone 15 pro max AI 경쟁 기능을 제공해 실시간으로 오디오와 텍스트를 번역하여 사용자에게 제공한다. 또한, AI는 삼성 가우스(Gauss)라는 이름으로 소개되었으며, 문서 요약, 이미지 생성, 그리고 사진 해상도 향상과 같은 다양한 기능... 통합웹 더보기
서비스 안내 스토리의 글을 대상으로 검색결과를 제공합니다. 자세히보기 자그니 IT 분야 크리에이터 세 가지 제품으로 정리하는 CES 2024 AI 트렌드 5 수 있는 비전 AI, LiDAR를 이용한 자율 주행, 삼성 스마트싱스와 연동한 스마트 홈 제어 기술 등이 다 들어가 있다. 소형화된 생성 AI 삼성 가우스(Samsung Gauss)가 내장되어 있어서, 이런 다양한 기능들을 제어한다고 알려졌다. 포인트 : 생성 AI를 소형화해서(small Large Language Model, sLLM), 온디바이스로 탑재... AI CES 트렌드 22시간전 브런치스토리 검색 더보기 jaehoonstudy.tistory.com ShinyLab Gauss-Jordan Elimination(가우스-조던 소거법) & RREF Gauss-Jordan Elimination(가우스-조던 소거법) 이전 게시물에서 가우스 소거법(Gaussian Elimination)을 다룬 적이 있습니다. 이번에는 가우스 소거법이 아니라 한층 더 나아간, 가우스-조던 소거법에 대해서 다뤄볼 것입니다. 우리는 이전에 가우스 소거법을 이용하여 주어진 행렬 ((A))를 ref, row echelon form의 형태로 만들어주었습니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/12 Solving ((A))((x)) ((=)) ((b)) (When ((n)) x ((n))) - part 2 오늘은 지난 게시물에 이어서 ((A))((x 가우스-조던 소거법의 3가지 연산 어떤 행에 숫자를 곱하여 다른 행에서 빼준다. 어떤 행에 0이 아닌 숫자를 곱한다(pivot을 1로 만들기 위해). 행들의 위치를 바꾼다(행의 숫자가 모두 0인 애들을 맨 밑으로 몰아넣기 위해) 여기서 중요한 것은, 이 3가지 연산 모두 Linear combination에 해당한다는 것입니다. 그냥 벡터들을 조합한 것일 뿐이므로, 이러한 연산들을 해도 행렬의 Row space는 달라지지 않는 것이 핵심 포인트입니다. 새로운 기저벡터가 생기거나 이런 것이 아니라, 기존 것들만을 활용하는 것이기 때문에 공간이 달라질 일이 없다는 것이죠 Reduced Row echelon form(rref) 이 rref에 대해서 조금 더 알아보도록 하겠습니다. 먼저 rref는 이런 모양으로 생겼습니다. 여기서 ((R))은 Row echelon form입니다. R 밑에 0이 있는 형태이죠. 아까도 언급했듯이 이렇게 행렬에 변화를 가한다고 해서 기존 행렬인 ((A))와 row space가 달라지지 않습니다. 그래서 훨씬 더 간단한 형태를 하고 있으면서도 ((m)) - ((r)) 개의 성분이 모두 0인 행을 밑에 가지고 있습니다. 우리는 CR factorization을 통해서 ((r))개의 independent column들을 찾아낸 바가 RREF와 4개의 부분공간과의 연관 우리가 마지막으로 만든 rref는 기존 행렬인 ((A))의 row space와 column space, 그리고 null space를 알려줍니다. 여기서 다루려고 부분공간 게시물에서는 다루지 않았는데, 어떤 부분공간을 표현할 때에는 그 공간의 basis를 이용해서 표현합니다. 공간에 벡터는 무한히 많아 어떤 벡터를 특정하며 공간을 표현해야하는데, 그 적임자가 바로 얘네들의 linear combination으로 공간의 모든 벡터들을 만들어낼 수 있는 basis들 인 것이죠. 그래서 basis들 간의 linear combination 형 RREF를 구할 때 일어날 수 있는 경우들 선형대수학에서는 여러가지 경우들이 있는데, 이를 머리속에 잘 담아두면 전체적인 그림을 그릴 때 좋은 것 같습니다. 특히 지금 막 rref고 가우스-조던 소거법이고 여러가지가 나와서 정신이 없는데, 이들이 언제 어디서 쓰이는지를 중점으로 정리해두면 좋을 것 같습니다. 제가 이전에 ((A))((x)) = ((b)) 문제를 풀어야하는데 ((A))가 ((n)) x ((n)) 상황일 때 가우스 소거법을 이용해 LU 분해를 하여 문제를 쉽게 푼다 라고 정리한 것처럼 말이죠. 다음 게시물에서도 가우스-조던 소거법이 쓰이는 문제 상황을 다룰 것입 12 이전 게시물에서 가우스 소거법(Gaussian Elimination)을 다룬 적이 있습니다. 이번에는 가우스 소거법이 아니라 한층 더 나아간, 가우스-조던 소거법에 대해서 다뤄볼 것입니다. 우리는 이전에 가우스 소거법을 이용하여 주어진 행렬 ((A))를 ref, row echelon form의 형태로 만들어주었습니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/12 Solving ((A))((x)) ((=)) ((b)) (When ((n)) x ((n))) - part 2 오늘은 지난 게시물에 이어서 ((A))((x 선형대수 2024.01.29 티스토리 검색 더보기 story.kakao.com 이성근 이성근 - 카카오스토리 的粉末原料中去除铁成分; -或者在原料mixing后 锂 钴 镍 锰 从粉末状态的原料中去除铁成分 -最多达5000 GAUSS的强大电磁铁filter系统 -将残留的铁成分含量控制在ppm以下 ABIMAN ENGINEERING CHINA 威海柳道机械... 2024.03.07 카카오스토리 검색 더보기 IT 크리에이터 보기
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